РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 642752 Добавить в вариант

Источник: Задания 18 ЕГЭ–2023

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Из пары натуральных чисел (a; b), где $a больше b,$ за один ход получают пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой равно 200?

б)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)?

в)  Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370).

Решение. Заметим, что $a плюс b больше a минус b,$ поэтому второй ход даст

$левая круглая скобка a плюс b плюс a минус b, a плюс b минус левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2a, 2b правая круглая скобка .$

Итак, за два хода числа удваиваются.

а)  Если сделать 4 хода, 50 удвоится дважды и получится 200.

б)  Заметим, что $левая круглая скобка 50, 9 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 59, 41 правая круглая скобка .$ Дальше все пары будут либо вида $левая круглая скобка 2 в степени k умножить на 50, 2 в степени k умножить на 9 правая круглая скобка ,$ либо вида $левая круглая скобка 2 в степени k умножить на 59, 2 в степени k умножить на 41 правая круглая скобка .$ Поскольку 370 кратно 37, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 37, получить его нельзя.

в)  Если пара (a, b) дала пару (408, 370), то $a плюс b=408$ и $a минус b = 370,$ откуда $a = 389$ и $b=19.$

поскольку за два хода числа в паре удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара (389, 19) вообще не получается удвоением, а пара (408, 370) получается удвоением пары (204, 185), которую уже нельзя поделить на 2.

Значит все такие пары это (389, 19) и (204, 185). Наименьшее a именно в ней.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  204.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  204.

642752

а)  да; б)  нет; в)  204.

Источник: Задания 18 ЕГЭ–2023

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642752	а)  да; б)  нет; в)  204.