PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Перепишем первое уравнение в виде
Графиком этой совокупности является объединение прямой 
и дуги окружности радиуса 3 с центром в точке (−3; 0), лежащей выше этой прямой.
Графиком второго уравнения является некоторая прямая, параллельная прямой y = x.
Прямые 
и 
пересекаются при любом a, поэтому система имеет два решения тогда и только тогда, когда прямая касается дуги или пересекает ее ровно один раз.
Прямая 
касается дуги тогда, когда уравнение
имеет единственное решение. Это случается при 
Получаем:
Из геометрических соображений ясно, что точки касания расположены именно на дуге.
Непосредственной проверкой убедимся, что концами дуги являются точки (−6; 0) и (−3; −3). Прямая проходит через эти точки при a = 6 и a = 0 соответственно.
При 
прямая пересекает прямую 
а также пересекает один раз дугу, следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |