PDF-версии: 
Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A1D1 в отношении 
точка K — середина ребра DD1.
a) Доказать, что плоскость MCK параллельна прямой BD.
б) Найти тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если 
a 
Решение. а) Пусть точка M1 делит ребро AD в отношении
тогда
BC = M1D = MD1 = B1C1 = 4
и многогранник M1BCDMB1C1D1 — параллелепипед. Пусть плоскость MCK пересекает ребро BB1 в некоторой точке P. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KM и CP, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KM и CP равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, и MKCP — параллелограмм. Следовательно, прямоугольные треугольники CPB и MKD1 равны по катету и гипотенузе: BC = MD1 и CP = MK. Тогда
а значит, точка P — середина ребра BB1. Отрезки BP и KD равны и параллельны, тогда BPKD — параллелограмм, и, значит, прямая PK параллельна прямой BD. Прямая PK лежит в плоскости MKC, а прямая BD не лежит в этой плоскости, тогда по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость MKC параллельна прямой BD — что и требовалось доказать.
б) Заметим, что MKCP — параллелограмм с прямым углом, следовательно, MKCP — прямоугольник. Угол между плоскостью MKC и плоскостью ABCD будем искать с помощью площади проекции. Проекция прямоугольника MKCP на плоскость 
это параллелограмм 
Пусть D1K = x, KD = x. По теореме Пифагора:
тогда
Если 
то треугольник B1A1M — равносторонний, A1B1 = C1D1 = CD = A1M = 1. Найдем длину BD:
Найдем значение x:
Тогда 
Площадь MKCP равна, таким образом, 
Площадь 
равна 
Найдем косинус угла между плоскостью MKC и плоскостью основания:
Тогда 
а 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Опустим перпендикуляры 
BH1 и CH на сторону AD. Пусть BH1 = h и CC1 = a. Во введенной системе координат имеем:
Подставим координаты точек плоскости MCK в уравнение 
получим:
Из первого уравнения системы находим
Вычтем из третьего уравнения системы второе и выразим С:
Получаем уравнение плоскости MCK:
Скалярное произведение векторов 
и 
равно
Таким образом, векторы и перпендикулярны, значит, прямая BD параллельна плоскости MCK.
б) В уравнении плоскости ABC координата z равна нулю. Следовательно, нормаль к этой плоскости имеет координаты 
Далее находим:
Пусть DK = x, KD1 = x. Отрезки CK и MK перпендикулярны. Отрезок HK — проекция CH на плоскость AMD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах отрезок HK перпендикулярен отрезку MK.
Пусть 
тогда 
Выразим угол HKD:
Поскольку
треугольники MD1K и HDK подобны по двум углам. Имеем:
Находим уравнение плоскости MCK:
получим:
Следовательно, вектор нормали к плоскости MCK равен 
Пусть α — угол между плоскостью MKC и плоскостью основания. Угол между плоскостями равен углу между нормалями этих плоскостей. Имеем:
Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тождества и выразим тангенс угла α, получим:
откуда 
то есть 
Поскольку угол острый, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |