Тип 19 № 641938 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
В бесконечной последовательности натуральных чисел {cn} числа, стоящие на нечетных местах, образуют арифметическую прогрессию {an} с первым членом a и разностью 
а числа, стоящие на четных местах, образуют арифметическую прогрессию {bn} с первым членом b и разностью 
причем 
и 
а) Могут ли в последовательности {cn} стоять подряд три одинаковых числа?
б) Какое максимальное количество пар соседних одинаковых чисел может быть в последовательности {cn}?
в) Какое наименьшее количество чисел в последовательности {cn} может стоять между двумя парами соседних одинаковых чисел?
Решение. а) Если бы в последовательности стояли три одинаковых числа подряд, то первое и третье из них были бы соседними членами одной прогрессии. Но тогда они должны отличаться на b или на d и равными быть не могут.
б) Рассмотрим две пары, в которых первые числа принадлежат одной прогрессии. Тогда вторые числа принадлежат другой прогрессии. При этом числа второй пары отличаются от чисел первой на xb и xd, где x — целое число. Поэтому если бы в каждой паре числа были равны, то выполнялось бы и равенство xb = xd, что невозможно, поскольку 
Значит, две такие пары не могут состоять из одинаковых чисел.
Следовательно, количество пар соседних одинаковых чисел может быть не больше двух (одна пара с первым членом с нечетным номером, вторая — с четным). Такое возможно, например, для последовательности 2, 1, 3, 3, 4, 5, 5, 7, ..., в которой a = 2, b = 1, d = 1 и f = 2.
в) В предыдущем примере построена последовательность, где такое число одно. Если их 0, то эти пары — одного типа (обе начинаются с члена одной прогрессии), такая ситуация невозможна.
Ответ: а) нет; б) 2; в) 1.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) 2; в) 1.
641938
а) нет; б) 2; в) 1.
PDF-версии: