РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 641418 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 429

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На листочке написано более 100, но меньше 115 целых чисел. Среднее арифметическое чисел, меньших 13, равно −20, а среднее арифметическое чисел, больших 13, равно 35. Среднее арифметическое всех чисел, записанных на листочке, равно 7.

а)  Сколько чисел записано на листочке?

б)  Может ли чисел, больших 13, быть больше, чем чисел, меньших 13?

в)  Какое наибольшее количество чисел, которые больше 13, может быть среди этих чисел, если известно, что есть хотя бы одно число, равное 13?

Решение. Пусть на лиcточке записано x чисел, больших 13, y чисел, меньших 13 и z чисел, равных 13. Тогда суммы их равны соответственно 35x, −20y (по определению среднего арифметического) и 13z. Сумма всех этих чисел равна $7 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка .$

а)  Из уравнения $7 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка = 35x минус 20y плюс 13z$ получаем:

$5 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =33x минус 22y плюс 11z равносильно 5 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =11 левая круглая скобка 3x минус 2y плюс z правая круглая скобка .$

Следовательно, $x плюс y плюс z$ кратно 11. Есть только одно число от 100 до 115, кратное 11, это 110. Значит, $x плюс y плюс z = 110.$

б)  Из предыдущего пункта получаем:

$5 умножить на 110 = 11 левая круглая скобка 3x минус 2y плюс z правая круглая скобка равносильно 50 = 3x минус 2y плюс z,$

следовательно,

$50 = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка плюс 2x минус 3y = 110 плюс 2x минус 3y,$

откуда $2x минус 3y= минус 60,$ то есть $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 20.$ Тогда

$z = 110 минус x минус y = 110 минус x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x минус 20 = 90 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x.$

Если $x больше y,$ то $x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 20,$ откуда $x больше 60.$ Значит,

$z = 90 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x меньше 90 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 60 = минус 10,$

что невозможно.

в)  По условию $z = 90 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x больше 0,$ откуда $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x меньше 90,$ то есть $x меньше 54.$ Кроме того, число x кратно 3, иначе $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 20$   — нецелое число. Максимальное подходяще x равно 51, тогда y  =  54 и z  =  5.

Такая ситуация возможна, например, для набора из 51 числа 35, 54 чисел −20 и 5 чисел 13.

Ответ: а)  110; б)  нет, не может; в)  51.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  110; б)  нет, не может; в)  51.

641418

а)  110; б)  нет, не может; в)  51.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 429

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	641418	а)  110; б)  нет, не может; в)  51.