РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 641412 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 429

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 4 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = косинус x косинус 2 x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Умножим обе части уравнения на 2 и применим формулы произведения:

$2 синус альфа косинус бета = синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка ,$

$2 косинус альфа косинус бета = косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка ,$

получим:

$синус 5x минус синус левая круглая скобка 3x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус 3x плюс косинус x.$

Воспользуемся нечетностью синуса, применим формулу приведения, находим:

$синус 5x плюс косинус 3x = косинус 3x плюс косинус x равносильно синус 5x минус косинус x =0 равносильно синус 5x = косинус x.$

Далее имеем:

$синус 5x = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно совокупность выражений 5x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс 2 Пи k, 5x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k, n принадлежит Z .$ $синус 5x = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно совокупность выражений 5x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс 2 Пи k, 5x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k, n принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно минус 6 меньше или равно 1 плюс 4k меньше или равно 0 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1,$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно минус 4 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 0 \underset n принадлежит Z \mathop равносильно n = минус 1.$

Найденным значениям параметров соответствуют корни $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

641412

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 429

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	641412	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$