PDF-версии: 
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём 
Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
Решение. а) Четырехугольник KLMN — квадрат, поэтому прямые KN и LM параллельны. Следовательно, прямая LM параллельна плоскости ABC. Значит, прямые LM и AB лежат в плоскости ADB и не имеют общих точек, тогда они параллельны. Таким образом, прямые KN, LM и AB параллельны. Аналогично, прямые KL, MN и CD параллельны. Так как прямые KL и LM взаимно перпендикулярны, прямые AB и CD взаимно перпендикулярны.
б) Расстояние от точки B до плоскости KLM равно высоте тетраэдра BKMN, проведенной из точки B. Основанием данного тетраэдра является прямоугольный треугольник KMN, площадь которого равна
Следовательно,
Пусть отрезок AH — высота тетраэдра ABCD, отрезок KH1 — высота тетраэдра KBNM. Выразим объём тетраэдра KBNM через объём тетраэдра ABCD:
Подставим найденные значения:
Ответ: б) 3,6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |