PDF-версии: 
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину хорды MN, если 
a радиус меньшей окружности равен 
Решение. a) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OK диаметр меньшей окружности.
Точка A лежит на окружности c диаметром OK, значит, 
Отрезок OA — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду, поэтому A — середина KM. Аналогично B — середина KN. Тогда AB — средняя линия треугольника KMN. Значит, прямые AB и MN параллельны. Тогда
откуда
б) Радиус большей окружности равен 
В предыдущем пункте было доказано, что
Опустим перпендикуляр OH на хорду MN. Тогда H — середина MN. Положим 
Тогда
Из прямоугольного треугольника OHM находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QC и OH параллельны. Опустим перпендикуляр OF из центра большей окружности на прямую QC. Тогда: 
и
По теореме Пифагора 
Составим и решим уравнение:
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |