РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 640912 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201;

Задания 14 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 45, знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0.$

Решение. Пусть $t = логарифм по основанию 2 x,$ тогда неравенство примет вид:

$дробь: числитель: 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: t в квадрате плюс 6 t конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате плюс 14 левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка плюс 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t в квадрате левая круглая скобка t плюс 6 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0,$ $дробь: числитель: 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: t в квадрате плюс 6 t конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате плюс 14 левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка плюс 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t в квадрате левая круглая скобка t плюс 6 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0,$ $дробь: числитель: 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: t в квадрате плюс 6 t конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате плюс 14 левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка плюс 45, знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t в квадрате левая круглая скобка t плюс 6 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0,$

откуда

$t меньше минус 6 ;$ $минус 6 меньше t \leqslant минус 5 ;$ $t= минус 3 ;$ $минус 1 меньше или равно t меньше 0 ;$ $t больше 0.$

Таким образом, получаем:

$логарифм по основанию 2 x меньше минус 6 ;$ $минус 6 меньше логарифм по основанию 2 x \leqslant минус 5 ;$ $логарифм по основанию 2 x= минус 3 ;$ $минус 1 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше 0 ;$ $логарифм по основанию 2 x больше 0 .$

Решение исходного неравенства:

$0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ;$ $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 1 ;$ $x больше 1 .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек $дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ и/или $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

640912

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201;

Задания 14 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640912	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$