Тип 14 № 640911 
Стереометрическая задача. Сечения пирамид
i
В четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD длины всех боковых ребер равны длине ребра AD, а длина каждого из рёбер AB, BC и CD ровно в два раза меньше, чем длина ребра AD.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра AD.
б) Найдите, в каком отношении плоскость BMN делит высоту пирамиды, считая от вершины S, если точка M — середина ребра SD, а точка N делит ребро SC в отношении 
Решение. 
a) Пусть точка H — основание высоты пирамиды SABCD (см. рис. верхний). Прямоугольные треугольники ASH, BSH, CSH и DSH равны, поскольку катет SH общий, а гипотенузы SA, SB, SC и SD равны. Значит, отрезки HA, HB, HC и HD равны, и четырёхугольник ABCD может быть вписан в окружность с центром H.
Хорды AB и CD равны, значит, ABCD — равнобедренная трапеция. Пусть 
— середина AD. Тогда четырёхугольники 
и 
— параллелограммы, поскольку 
a прямые BC и AD параллельны. Следовательно,
Значит, точка равноудалена от всех вершин трапеции, а значит, точки H и совпадают. Таким образом, основание высоты пирамиды является серединой ребра AD.
б) Пусть прямая MN пересекает продолжение CD в точке E, прямая EB пересекает продолжение AD в точке F, а отрезок FM пересекает высоту SH в точке P. Рассмотрим точку 
на ребре SD, такую, что прямые MN и 
параллельны. Тогда
Следовательно,
Значит, треугольники BCE и ADC подобны, поскольку 
и
Таким образом, прямые BE и AC параллельны, поскольку 
Следовательно,
Рассмотрим точку Q на ребре SD, такую, что прямые FM и HQ параллельны (см. рис. нижний). Тогда
Следовательно, 
Ответ: б) 3 : 2.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 3 : 2.
PDF-версии: