РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 640911 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Методы геометрии: Свойства хорд

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Деление отрезка

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

В четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD длины всех боковых ребер равны длине ребра AD, а длина каждого из рёбер AB, BC и CD ровно в два раза меньше, чем длина ребра AD.

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра AD.

б)  Найдите, в каком отношении плоскость BMN делит высоту пирамиды, считая от вершины S, если точка M  — середина ребра SD, а точка N делит ребро SC в отношении $S N: N C=3: 1.$

Решение. a)  Пусть точка H  — основание высоты пирамиды SABCD (см. рис. верхний). Прямоугольные треугольники ASH, BSH, CSH и DSH равны, поскольку катет SH общий, а гипотенузы SA, SB, SC и SD равны. Значит, отрезки HA, HB, HC и HD равны, и четырёхугольник ABCD может быть вписан в окружность с центром H.

Хорды AB и CD равны, значит, ABCD  — равнобедренная трапеция. Пусть $H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — середина AD. Тогда четырёхугольники $A B C H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $B C D H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — параллелограммы, поскольку $A H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = B C = H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D,$ a прямые BC и AD параллельны. Следовательно,

$C H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = A B = C D = H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B .$

Значит, точка $H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равноудалена от всех вершин трапеции, а значит, точки H и $H в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ совпадают. Таким образом, основание высоты пирамиды является серединой ребра AD.

б)  Пусть прямая MN пересекает продолжение CD в точке E, прямая EB пересекает продолжение AD в точке F, а отрезок FM пересекает высоту SH в точке P. Рассмотрим точку $M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ на ребре SD, такую, что прямые MN и $M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C$ параллельны. Тогда

$S M : M M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = S N : N C = 3 : 1.$

Следовательно,

$E C : C D = M M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D = 1 : 2.$

Значит, треугольники BCE и ADC подобны, поскольку $\angle B C E = \angle A D C$ и

$дробь: числитель: B C, знаменатель: C E конец дроби = дробь: числитель: A D, знаменатель: C D конец дроби = 2.$

Таким образом, прямые BE и AC параллельны, поскольку $\angle B E C=\angle A C D.$ Следовательно,

$F A : A D = E C : C D = 1 : 2.$

Рассмотрим точку Q на ребре SD, такую, что прямые FM и HQ параллельны (см. рис. нижний). Тогда

$M Q : Q D = F H : H D = 2 : 1.$

Следовательно, $S P: P H=S M : M Q=3 : 2.$

Ответ: б)  3 : 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  3 : 2.

640911

б)  3 : 2.

Источники:

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Методы геометрии: Свойства хорд

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Деление отрезка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640911	б)  3 : 2.