РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 640574 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 427

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение определено, если $косинус x меньше 0.$ Наибольшее значение аргумента логарифма равно 0,8, а потому множитель $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка$ отличен от нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$система выражений косинус x меньше 0, минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше 0, минус 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс синус x плюс 1 =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0,2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше 0, совокупность выражений синус x = минус 1, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений косинус x меньше 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $система выражений косинус x меньше 0, минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше 0, минус 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс синус x плюс 1 =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0,2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше 0, совокупность выражений синус x = минус 1, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $система выражений косинус x меньше 0, минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0, минус 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс синус x плюс 1 =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0,2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше 0, совокупность выражений синус x = минус 1, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Корни, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка ,$ отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 6 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус 36 меньше или равно 5 плюс 12k меньше или равно минус 24 равносильно минус 41 меньше или равно 12k меньше или равно минус 29 равносильно k = минус 3.$ $минус 6 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус 36 меньше или равно 5 плюс 12k меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно минус 41 меньше или равно 12k меньше или равно минус 29 равносильно k = минус 3.$ $минус 6 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус 4 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 5 плюс 12k меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно минус 41 меньше или равно 12k меньше или равно минус 29 равносильно k = минус 3.$

Найденному значению параметра соответствует корень $дробь: числитель: минус 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: минус 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

640574

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: минус 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 427

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640574	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: минус 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$