PDF-версии: 
Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2, ..., bn, ... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S1 = b1 и Sn = b1 + b2 + ... + bn при всех натуральных 
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно два числа делятся на 60?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно три числа делятся на 60?
в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2, ..., S12 может делиться на 60, если известно, что S1 на 60 не делится?
Решение. а) Да, существует. Например 15, 45, 135, 405. Только S2 и S4 кратны 60.
б) Поскольку прогрессия бесконечная, то ее знаменатель — натуральное число. Если первый член прогрессии кратен 60, то и все остальные тоже, поэтому и все суммы кратны 60. Допустим теперь, что b не кратно 60, но b + bq и 
кратны. Тогда bq2 кратно 60. При этом bq не кратно 60, иначе b + bq не могло бы быть ему кратно. Значит, q четно. Тогда и b четно, ведь b + bq четно. Следовательно, bq кратно 4 как поскольку произведение двух четных чисел, а тогда и b кратно 4, так как b + bq кратно 4. Но тогда ситуация bq2 кратно 60 и bq не кратно 60 невозможна, так как оба числа кратны 4, а значит, либо оба кратны пятнадцати, либо оба не кратны пятнадцати.
в) Продолжая прогрессию из п. а), получим пример для шести чисел. Попробуем доказать, что больше сделать нельзя. Допустим, таких сумм минимум семь. Тогда среди них есть две с соседними номерами, Значит, их разность — один из членов прогрессии — делится на 60.
Рассмотрим, как устроены все члены прогрессии, кратные трем (или пяти, рассуждения аналогичны). Степень тройки во всех членах прогрессии растет при увеличении номера на одну и ту же величину, или убывает на одну и ту же величину (для бесконечной прогрессии это на самом деле невозможно), или остается неизменной. Значит, либо ни один из членов прогрессии не кратен трем (а тогда и 60), либо трем кратны все члены прогрессии, кроме, может быть, первого или последнего. Если все, кроме первого — ни одна из сумм не будет кратна трем. Если таковы все, кроме последнего, то умножим все члены прогрессии на 3. От этого суммы не перестанут делиться на 60, первый член не начнет делиться на 60, так как он и так был кратен трем. Таким образом, можно считать, что все члены прогрессии кратны трем. Тогда поделим их все на 3 (и на 5) и будем изучать делимость Si на 4.
Рассуждая аналогично про делимость на степени двойки, придем либо к ответу 6, либо к возможности сократить все на 2 и изучению делимости на 2. Для нее уже вариантов, дающих больше шести сумм, не останется: либо все члены прогрессии имеют одинаковую четность, в этом случае нечетны и там 6 сумм. Либо все четны, кроме первого, и тогда четных сумм нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |