РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 639951 Добавить в вариант

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2023;

Пробный ЕГЭ по математике, Москва, 06.04.2023. Вариант 1.

Методы геометрии: Теорема Менелая

Классификатор стереометрии: Четырехугольная пирамида, Объем тела

Стереометрическая задача. Объёмы многогранников

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

а)  Докажите, что плоскость KML содержит точку B.

б)  Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 18, а высота пирамиды SABCD равна 7.

Решение. а)  Пусть прямые ML и CD пересекаются в точке Q, а прямые MK и АD пересекаются в точке P. По теореме Менелая для треугольника DSC и прямой QM получим:

$дробь: числитель: DM, знаменатель: MS конец дроби умножить на дробь: числитель: SL, знаменатель: LC конец дроби умножить на дробь: числитель: CQ, знаменатель: QD конец дроби =1,$

откуда $DQ=2CQ.$ Следовательно, $DC=CQ.$ Аналогично получаем, что $DA=AP.$

Заметим, что $\angle PAB=\angle ADC =\angle BCQ,$ поэтому треугольники PAB и BCQ равны. Имеем:

$\angle PBA плюс \angle CBQ = 180 градусов минус \angle BAP равносильно \angle PBA плюс \angle ABC плюс \angle CBQ =180 градусов.$

Из полученного равенства следует, что точки P, B и Q лежат на одной прямой, то есть PQ принадлежит плоскости KML.

б)  Рассмотрим отношение площадей треугольников SMK и SDA, имеем:

$дробь: числитель: S_SMK, знаменатель: S_SDA конец дроби = дробь: числитель: SM умножить на SK, знаменатель: SD умножить на SA конец дроби = дробь: числитель: 1 умножить на 2, знаменатель: 2 умножить на 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$

откуда $S_MKDA= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_SDA.$ Поскольку пирамиды BMKDA и BSDA имеют общую высоту, получаем:

$V_BMKDA= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби V_BSDA= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби V_SABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 18 умножить на 7=14.$

Ответ: б)  14.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  14.

639951

б)  14.

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2023;

Пробный ЕГЭ по математике, Москва, 06.04.2023. Вариант 1.

Методы геометрии: Теорема Менелая

Классификатор стереометрии: Четырехугольная пирамида, Объем тела

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639951	б)  14.