PDF-версии: 
Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат, и AK : KC = 3 : 7.
а) Докажите, что 
б) Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.
Решение. а) Четырехугольник KLMN — квадрат, поэтому прямые KL и NM параллельны. Следовательно, прямая KL параллельна плоскости BCD, а значит, прямые KL и CD, лежащие в плоскости ACD, не имеют общих точек. Значит, они параллельны. Таким образом, все три прямые KL, MN и CD параллельны, а потому треугольники KAL и CAD подобны. Аналогично прямые KN, LM и AB параллельны, и треугольники KCN и ACB подобны. Из подобия треугольников KAL и CAD получаем:
Из подобия треугольников KCN и ACB получаем
Отрезки KN и KL равны как стороны квадрата. Тогда 
откуда 
б) Заметим, что, 
где отрезок KH1 — высота тетраэдра CKMN, а отрезок AH — высота тетраэдра ABCD. Выразим площадь треугольника CMN через площадь треугольника BCD:
Тогда
Ответ: б) 29,4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |