PDF-версии: 
Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и МC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 7 и MK = 14.
Решение. а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому
Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.
б) Пусть точка O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM взаимно перпендикулярны. Прямые BK и AM также взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 3, поэтому OB = OM = 3x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник, получаем:
По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 9x2 = 196 + 4x2. Тогда 
Поскольку прямые AD и MC параллельны, имеем:
Таким образом, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |