PDF-версии: 
Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что 
а KLMN — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 50.
Решение. а) Заметим, что, так как четырехугольник KLMN — квадрат, прямые
б) Расстояние от точки C до плоскости KLM равно высоте тетраэдра CKMN, проведенной из точки С. Основанием этого тетраэдра является прямоугольный треугольник KMN, площадь которого равна
Следовательно,
Пусть отрезок DH — высота тетраэдра DABC, отрезок MH1 — высота тетраэдра MKCN. Выразим объём тетраэдра MKCN через объём тетраэдра DABC:
Подставим найденные значения:
Ответ: б) 4,9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |