Ре­ше­ние. a)  Рас­смот­рим раз­би­е­ние числа 38 на 39 сла­га­е­мых, рав­ных При раз­де­ле­нии этих сла­га­е­мых на две груп­пы в одной из них ока­жет­ся не менее 20 чисел, сумма ко­то­рых равна

Зна­чит, S не может быть рав­ным 38.

б)  По­сколь­ку S яв­ля­ет­ся сум­мой двух чисел, не боль­ших 19, по­лу­ча­ем Пусть Рас­смот­рим раз­би­е­ние числа S на 39 сла­га­е­мых, рав­ных

При раз­де­ле­нии этих сла­га­е­мых на две груп­пы в одной из них ока­жет­ся не менее 20 чисел, сумма ко­то­рых равна

Зна­чит, S не может быть боль­ше 37,05.

в)  До­ка­жем, что число 37,05 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Рас­смот­рим про­из­воль­ное пред­став­ле­ние S  =  37,05 в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, не пре­вос­хо­дя­щих 1: Можно счи­тать, что сла­га­е­мые упо­ря­до­че­ны по не­воз­рас­та­нию: Первую груп­пу со­ста­вим из k наи­боль­ших сла­га­е­мых так, чтобы

Вто­рую груп­пу со­ста­вим из остав­ших­ся сла­га­е­мых.

Пусть тогда

По­это­му то есть и

Тогда По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет, что По­это­му сумма сла­га­е­мых во вто­рой груп­пе

Таким об­ра­зом, число S  =  37,05 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что ни одно из чисел не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Зна­чит, мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние S равно 37,05.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  37,05.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Та­тья­ны Кра­вчен­ко из Санкт-⁠Пе­тер­бур­га.

До­ка­жем, что число 37,05 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Рас­смот­рим про­из­воль­ное пред­став­ле­ние числа 37,05 в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, не пре­вос­хо­дя­щих 1: Упо­ря­до­чим сла­га­е­мые по не­убы­ва­нию и будем до­бав­лять в первую груп­пу мень­шие сла­га­е­мые, на­чи­ная с пер­во­го. При до­бав­ле­нии оче­ред­но­го сла­га­е­мо­го Х в первую груп­пу сумма сла­га­е­мых в ней пре­вы­сит 19. Это сла­га­е­мое из пер­вой груп­пы ис­клю­чим и будем рас­смат­ри­вать от­дель­но, а все осталь­ные сла­га­е­мые (боль­шие или рав­ные Х) по­ме­стим во вто­рую груп­пу. Пусть S₁  — сумма сла­га­е­мых в пер­вой груп­пе, S₂  — сумма сла­га­е­мых во вто­рой груп­пе, при­чем и

Пред­по­ло­жим, что тогда по­сколь­ку Но тогда и любое сла­га­е­мое из вто­рой груп­пы боль­ше 0,95. Учи­ты­вая, что по­лу­чим, что во вто­рой груп­пе долж­но быть не более 18 сла­га­е­мых. Каж­дое сла­га­е­мое мень­ше 1, по­это­му При и по­лу­чим, что Это про­ти­во­ре­чит усло­вию. Сле­до­ва­тель­но, S₁ не может быть мень­ше 18,05: в этом слу­чае S₂ + X не пре­вос­хо­дит 19. От­не­сем Х ко вто­рой груп­пе, и ис­ко­мое раз­би­е­ние будет до­стиг­ну­то.

Таким об­ра­зом, число 37,05 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что ни одно из чисел? боль­ших 37,05, не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Зна­чит, мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние S равно 37,05.