РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 638903 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 421

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Неравенства. Показательные выражения и иррациональности

Решите неравенство: $5 в степени левая круглая скобка 2 x минус 10 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка меньше 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Решение. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $5 в степени левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка .$ Получим:

$5 в степени левая круглая скобка 2 x минус 10 минус 6 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 5 меньше 0.$ $5 в степени левая круглая скобка 2 x минус 10 минус 6 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 5 меньше 0.$

Положим, $y = 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ тогда $y в квадрате минус 4y минус 5 меньше 0,$ откуда $минус 1 меньше y меньше 5.$ Таким образом,

$минус 1 меньше 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента меньше 1 равносильно x минус 6 меньше 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента .$ $минус 1 меньше 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно 5 в степени левая круглая скобка x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 5 равносильно$
$равносильно x минус 5 минус 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента меньше 1 равносильно x минус 6 меньше 3 корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента .$

Пусть $корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента =t,$ тогда

$t в квадрате минус 4 меньше 3t равносильно t в квадрате минус 3t минус 4 меньше 0 равносильно минус 1 меньше t меньше 4.$

Вернёмся к исходной переменной:

$минус 1 меньше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента меньше 4 равносильно корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента меньше 4 равносильно 0 меньше или равно x минус 2 меньше 16 равносильно 2 меньше или равно x меньше 18.$

Ответ: $левая квадратная скобка 2; 18 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка 2; 18 правая круглая скобка .$

638903

$левая квадратная скобка 2; 18 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 421

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638903	$левая квадратная скобка 2; 18 правая круглая скобка .$