РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 638593 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 420

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 7 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2 x плюс 1 правая круглая скобка .$

Решение. Вынесем в числителе общий множитель и разделим на него обе части неравенства:

$дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 7 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2 x плюс 1 правая круглая скобка \underset3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 7 , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3.$ $дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 7 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2 x плюс 1 правая круглая скобка \underset3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 7 , знаменатель: 2 минус 3 в степени левая круглая скобка 2 x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3.$

Пусть $3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка =t больше 0,$ тогда

$дробь: числитель: 4t минус 7, знаменатель: 2 минус t в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 \undersett больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 7t, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 3 равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 13t плюс 3, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше или равно 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 4t минус 7, знаменатель: 2 минус t в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 \undersett больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 7t, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 3 равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 13t плюс 3, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше или равно 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 4t минус 7, знаменатель: 2 минус t в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 3 \undersett больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 7t, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 13t плюс 3, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2t минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше или равно 3. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка больше или равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус логарифм по основанию 3 4 меньше или равно x в квадрате минус 2x меньше минус логарифм по основанию 3 2,x в квадрате минус 2x больше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 4 больше или равно 0,x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0, конец системы . x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0,x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента меньше x меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ,x меньше или равно 1 минус корень из 2 ,x больше или равно 1 плюс корень из 2 . конец совокупности .$ $совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка больше или равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус логарифм по основанию 3 4 меньше или равно x в квадрате минус 2x меньше минус логарифм по основанию 3 2,x в квадрате минус 2x больше или равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 4 больше или равно 0,x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0, конец системы . x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0,x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента меньше x меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ,x меньше или равно 1 минус корень из 2 ,x больше или равно 1 плюс корень из 2 . конец совокупности .$ $совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x правая круглая скобка больше или равно 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус логарифм по основанию 3 4 меньше или равно x в квадрате минус 2x меньше минус логарифм по основанию 3 2,x в квадрате минус 2x больше или равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 4 больше или равно 0,x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0, конец системы . x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 3 2 меньше 0,x в квадрате минус 2x минус 1 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента меньше x меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ,x меньше или равно 1 минус корень из 2 ,x больше или равно 1 плюс корень из 2 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 минус корень из 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ; 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1 плюс корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

638593

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 минус корень из 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ; 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1 плюс корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 420

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638593	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 минус корень из 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента ; 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 3 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1 плюс корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$