РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 638591 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 420

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 косинус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на косинус 2 x минус 1= косинус 4 x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  В силу периодичности косинуса получаем:

$косинус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i6 = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее имеем:

$корень из 3 косинус 2 x минус 1= косинус 4 x равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x минус 1=2 косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно 2 косинус в квадрате 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x =0, косинус 2x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из 3 косинус 2 x минус 1= косинус 4 x равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x минус 1=2 косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x=0 равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x =0, косинус 2x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из 3 косинус 2 x минус 1= косинус 4 x равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x минус 1=2 косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x =0, косинус 2x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из 3 косинус 2 x минус 1= косинус 4 x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x минус 1=2 косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x =0, косинус 2x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). На заданном отрезке лежат числа: $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

638591

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 420

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638591	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$