РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 638316 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 419

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

В треугольнике ABC продолжения высоты CC₁ и биссектрисы BB₁ пересекают описанную окружность в точках N и М соответственно, $\angle A B C=40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A C B=85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

а)  Докажите, что ВM   =   CN.

б)  Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 6.

Решение. а)  Заметим, что

$\angle BAC=180 градусов минус 40 градусов минус 85 градусов =55 градусов$

$\angle ACC_1=90 градусов минус 55 градусов =35 градусов .$

Тогда $\smile AN=70 градусов ,$ следовательно, $\smile CAN= 2 умножить на 40 градусов плюс 70 градусов=150 градусов.$ Значит,

$\smile BCM=\smile BC плюс \smile CM= 2 умножить на 55 градусов плюс 2 умножить на дробь: числитель: 40 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = 150 градусов,$

откуда следует, что CN  =  BM как хорды, стягивающие равные дуги.

б)  Найдем углы BND и DBN:

$\angle BND = \angle BNC плюс \angle CNM = \angle BAC плюс \angle CBM=55 градусов плюс 20 градусов=75 градусов,$

$\angle DBN=\angle CBA плюс \angle ABN =\angle CBA плюс \angle ACN=40 градусов плюс 35 градусов=75 градусов.$

Тогда $\angle BDN=30 градусов,$ а значит,

$BD=ND= дробь: числитель: BH, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби = 12.$

Тогда для площади треугольника BDN имеем: $S_BDN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на 12 умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =36.$

Ответ: б)  36.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  36.

638316

б)  36.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 419

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638316	б)  36.