РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 638312 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 419

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Логарифмические уравнения

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка \dfrac Пи 2 минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка конец дроби =0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Знаменатель дроби должен быть отличен от нуля:

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка \not=0 равносильно синус x минус косинус x \not = 0. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$ $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка \not=0 равносильно$
$равносильно синус x минус косинус x \not = 0. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

При выполнении этого условия числитель может быть равен нулю, лишь если

$1 плюс логарифм по основанию 2 синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x = 0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 синус x = 1, логарифм по основанию 2 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=2, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z ..$ $1 плюс логарифм по основанию 2 синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 синус x = 1, логарифм по основанию 2 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x=2, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z ..$ $1 плюс логарифм по основанию 2 синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 синус x = 1, логарифм по основанию 2 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=2, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z ..$

Условию  (⁎) удовлетворяет только серия $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $k принадлежит Z ..$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно 5 меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4k меньше или равно 10 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 1,k = 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно$
$равносильно 5 меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4k меньше или равно 10 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 1,k = 2. конец совокупности .$

Найденным значениям параметра соответствуют корни $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

638312

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 419

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638312	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$