РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 636744 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 414

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 0,25 минус x, знаменатель: |2 x плюс 0,5| конец дроби .$

Решение. Чтобы избавится от громоздких записей, положим $a = |2x плюс 0,5|,$ $b = 0,25 минус x,$ перейдем к основанию  3 и разложим на множители:

$левая круглая скобка логарифм по основанию a b минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 b больше 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус 2 логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0.$ $левая круглая скобка логарифм по основанию a b минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 b больше 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус 2 логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0.$ $левая круглая скобка логарифм по основанию a b минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 b больше 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус 2 логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0.$ $левая круглая скобка логарифм по основанию a b минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 b больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 b больше 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 b минус 2 логарифм по основанию 3 a, знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b минус логарифм по основанию 3 a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 a конец дроби больше 0.$

На области определения полученного неравенства его левая часть имеет тот же знак, что и выражение $дробь: числитель: левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка левая круглая скобка b минус a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: a минус 1 конец дроби больше 0,$ откуда получаем:

$левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 0,25 минус x, знаменатель: |2 x плюс 0,5| конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 0,25 минус x минус |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: |2 x плюс 0,5| минус 1 конец дроби больше 0 ,0,25 минус x больше 0 ,|2 x плюс 0,5| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3x в квадрате минус 2,5x минус 0,1875 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: 4x в квадрате плюс 2x минус 0,75 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0, конец системы . x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности .$ $левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 0,25 минус x, знаменатель: |2 x плюс 0,5| конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 0,25 минус x минус |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: |2 x плюс 0,5| минус 1 конец дроби больше 0 ,0,25 минус x больше 0 ,|2 x плюс 0,5| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3x в квадрате минус 2,5x минус 0,1875 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: 4x в квадрате плюс 2x минус 0,75 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0, конец системы . x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности .$ $левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 0,25 минус x, знаменатель: |2 x плюс 0,5| конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 0,25 минус x минус |2 x плюс 0,5| правая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: |2 x плюс 0,5| минус 1 конец дроби больше 0 ,0,25 минус x больше 0 ,|2 x плюс 0,5| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка 0,25 минус x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 x плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3x в квадрате минус 2,5x минус 0,1875 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: 4x в квадрате плюс 2x минус 0,75 конец дроби больше 0,x меньше 0,25,x не равно минус 0,25 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0, конец системы . x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; 0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

636744

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; 0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 414

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	636744	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; 0 правая круглая скобка .$