PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер SA и SD и вершину C, делит высоту SH треугольника ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины ребер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Решение. а) Пусть точки M и N — середины ребер SA и SD соответственно. Тогда плоскость сечения пересекает грань SAB по отрезку BM — медиане треугольника ASB. Треугольник ASB равнобедренный, следовательно, высота SH является также и медианой, а значит, G — точка пересечения прямых SH и BM — делит эту высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
б) Заметим, что отрезок MN — средняя линия треугольника SAD — лежит в плоскости сечения. Следовательно, плоскость сечения пересекает высоту пирамиды SO в точке T — ее середине. Отрезки MN, BC и EF параллельны между собой. Поэтому плоскость сечения содержит прямую BC и пересекает плоскость SEF по прямой KL, параллельной EF, где K и L — точки пересечения плоскости сечения с ребрами SE и SF соответственно.
Таким образом, сечением является шестиугольник BCNKLM. Пусть точки P и Q — середины ребер BC и EF соответственно. Рассмотрим сечение SPQ, содержащее высоту пирамиды SO, и прямую PT, лежащую также в сечении BCNKLM. Пусть R — точка пересечения прямых PT и SQ. Точка R лежит в сечении BCNKLM, а потому она лежит на отрезке KL.
Применим теорему Менелая к треугольнику SOQ и прямой PR:
откуда 
Треугольники SRL и SQF подобны, следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |