РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 635087 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 409

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 больше 0.$

Решение. При условиях $x в квадрате больше 0,$ $x в квадрате не равно 1$ имеем: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 = 2,$ откуда $логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 0,$ то есть $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1.$ Полученное неравенство решим методом рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно система выражений x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно 1 меньше x в квадрате меньше 2 равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно система выражений x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно 1 меньше x в квадрате меньше 2 равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно 1 меньше x в квадрате меньше 2 равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Это же решение можно записать несколько иначе.

Используя свойства логарифма и метод рационализации, получаем:

$логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 больше 0 равносильно логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно дробь: числитель: \lg2, знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \lg2 минус \lgx в квадрате , знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 ,x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений 1 меньше x в квадрате меньше 2, x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 больше 0 равносильно логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно дробь: числитель: \lg2, знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 1 равносильно дробь: числитель: \lg2 минус \lgx в квадрате , знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 ,x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений 1 меньше x в квадрате меньше 2, x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 больше 0 равносильно логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \lg2, знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 1 равносильно дробь: числитель: \lg2 минус \lgx в квадрате , знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 ,x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 1 меньше x в квадрате меньше 2, x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в степени 4 больше 0 равносильно логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 2 больше 1 равносильно дробь: числитель: \lg2, знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \lg2 минус \lgx в квадрате , знаменатель: \lgx в квадрате конец дроби больше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 ,x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 1 меньше x в квадрате меньше 2, x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше корень из 2 , минус корень из 2 меньше x меньше минус 1. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

635087

$левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 409

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	635087	$левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$