РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 633753 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 403

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения и неравенства, Сравнение чисел

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс$
$плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Преобразуем левую часть неравенства:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 2 =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 6 = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 2 =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка 6 = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби .$

Перенесем выражение из правой части неравенства в левую, приведем к одному знаменателю, применим метод рационализации:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 6 x в квадрате минус x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 больше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби больше или равно 0, совокупность выражений x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 }6 ,x больше дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби , конец системы . x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . равносильно система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: {, знаменатель: 3 конец дроби минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби ,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 6 x в квадрате минус x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,6 x в квадрате минус 6 x плюс 1 больше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби больше или равно 0, совокупность выражений x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби , конец системы . x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби ,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Покажем, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ :

$9 меньше 75 меньше 81 \Rightarrow 3 меньше 5 корень из 3 меньше 9 \Rightarrow$
$\Rightarrow 9 меньше минус 5 корень из 3 меньше минус 3 \Rightarrow 6 меньше 15 минус 5 корень из 3 меньше 12 \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 30 меньше дробь: числитель: 15 минус 5 корень из 3 , знаменатель: 30 конец дроби меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$ $9 меньше 75 меньше 81 \Rightarrow 3 меньше 5 корень из 3 меньше 9 \Rightarrow$
$\Rightarrow 9 меньше минус 5 корень из 3 меньше минус 3 \Rightarrow 6 меньше 15 минус 5 корень из 3 меньше 12 \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 30 меньше дробь: числитель: 15 минус 5 корень из 3 , знаменатель: 30 конец дроби меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$ $9 меньше 75 меньше 81 \Rightarrow 3 меньше 5 корень из 3 меньше 9 \Rightarrow$
$\Rightarrow 9 меньше минус 5 корень из 3 меньше минус 3 \Rightarrow$
$\Rightarrow 6 меньше 15 минус 5 корень из 3 меньше 12 \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 30 меньше дробь: числитель: 15 минус 5 корень из 3 , знаменатель: 30 конец дроби меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$ $9 меньше 75 меньше 81 \Rightarrow$
$\Rightarrow 3 меньше 5 корень из 3 меньше 9 \Rightarrow$
$\Rightarrow 9 меньше минус 5 корень из 3 меньше минус 3 \Rightarrow$
$\Rightarrow 6 меньше 15 минус 5 корень из 3 меньше 12 \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 30 меньше дробь: числитель: 15 минус 5 корень из 3 , знаменатель: 30 конец дроби меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$

Тогда

$система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 }6 ,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: {, знаменатель: 3 конец дроби минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы . x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 , дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 }6 ,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: {, знаменатель: 3 конец дроби минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы . x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 , дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби ,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3x плюс 1 , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы . x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0 , дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

633753

$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 403

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения и неравенства, Сравнение чисел

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	633753	$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$