PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины P и E отрезков AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1E и СР перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если 
Решение. а) Пусть ребро куба равно a. Проведем прямую EF параллельную прямой CP, получим подобные треугольники DEF и BCP. Значит,
откуда
Нетрудно заметить, что 
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, отрезки B1E и EF перпендикулярны.
б) Пусть R — точка пересечения прямых CP и BE. Заметим, что прямая CP перпендикулярна прямой BE и прямая CP перпендикулярна прямой B1B. Следовательно, прямая CP перпендикулярна плоскости BEB1, а потому расстояние между скрещивающимися прямыми B1E и СР равно длине перпендикуляра RH, проведенного из точки R на прямую B1E.
Треугольники BPR и BEA — подобны, следовательно, 
откуда
Треугольники RHE и BEB1 подобны, следовательно, 
откуда
где 
Тогда 
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |