PDF-версии: 
В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е.
а) Докажите, что AD = CE + CD.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AE = 10, 
Решение. а) Заметим, что
как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC. Точки M и N — точки касания окружности с основаниями BC и AD соответственно. Отрезки MO и ON равны как радиусы, следовательно, треугольник MOE равен треугольнику NOA, а потому отрезки ME и AN равны. Значит,
Что и требовалось доказать.
б) Точка O равноудалена от прямых AB и AD, следовательно, прямая AO — биссектриса угла BAD. Тогда 
и
откуда следует, что
По свойству описанного четырехугольника 
тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |