РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 630708 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Вариант 992;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Выполним преобразования:

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2 равносильно синус x плюс синус 2x плюс 16 = 16 равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x= 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 1 плюс 2 косинус x = 0, синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2 равносильно синус x плюс синус 2x плюс 16 = 16 равносильно$
$равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x= 0 равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 плюс 2 косинус x = 0, синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2 равносильно$
$равносильно синус x плюс синус 2x плюс 16 = 16 равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x= 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 1 плюс 2 косинус x = 0, синус x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2 равносильно$
$равносильно синус x плюс синус 2x плюс 16 = 16 равносильно$
$равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x= 0 равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 плюс 2 косинус x = 0, синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ с помощью двойных неравенств. Из первой серии корней:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 4 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 28 меньше или равно 12k меньше или равно минус 19 равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби .$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 Пи меньше или равно 4 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 28 меньше или равно 12k меньше или равно минус 19 равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби .$

Полученному промежутку соответствует целое значение $k = минус 2.$ Получаем корень $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Отберем корни из второй серии:

$минус 4 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно минус 4 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 20 меньше или равно 12k меньше или равно минус 11 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби .$ $минус 4 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 Пи меньше или равно минус 4 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 20 меньше или равно 12k меньше или равно минус 11 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби .$

Полученному промежутку соответствует целое значение $k = минус 1.$ Получаем корень $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Отберем корни из третьей серии:

$минус 4 Пи меньше или равно Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 4 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Полученному промежутку соответствуют целые значения $k = минус 4$ и $k = минус 3.$ Получаем корни $минус 4 Пи$ и $минус 3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус 4 Пи ; минус 3 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

630708

а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус 4 Пи ; минус 3 Пи .$