РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Решение. а)  Поскольку 20 делится на $20 минус 19$ и $20 минус 18,$ а 19 делится на $19 минус 18,$ это невозможно.

б)  Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 17. Всего разных остатков 17, поэтому среди 25 чисел найдутся два числа с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 17. Ситуация невозможна.

в)  Рассмотрим числа 35, 37, ..., 99. Разность любых двух из них четна, а они все нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна $99 минус 35=64=2 умножить на 32,$ значит, все разности имеют вид 2n при $n меньше или равно 32.$ Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.

Допустим, есть пример с 34 числами (если их больше  — выкинем любые из них, оставив только 34). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел, меньших 34, там быть не может, а рассуждения пункта а)  — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (34, 35), (36, 37), ..., (98, 99) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 33.

Ответ: а)  нет, не могло; б)  нет, не может; в)  33.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ