РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$

имеет ровно два различных решения.

Решение. При $x меньше или равно 0$ уравнение $a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$ принимает вид:

$a в квадрате минус x в квадрате минус 2 x минус 1=0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оxa пару лучей: луч l₁ с началом в точке (0; 1), совпадающий с прямой $a=x плюс 1$ при $x меньше или равно 0,$ и луч l₂ с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой $a= минус x минус 1$ при $x меньше или равно 0.$ Лучи l₁ и l₂ пересекаются в точке (−1; 0). При $x больше или равно 0$ уравнение $a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$ принимает вид:

$a в квадрате минус x в квадрате плюс 2 x минус 1=0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₃ с началом в точке (0; 1), совпадающий с прямой $a=1 минус x$ при $x больше или равно 0,$ и луч l₄ с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой $a=x минус 1$ при $x больше или равно 0.$ Лучи l₃ и l₄ пересекаются в точке (1; 0).

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a=c$ с объединением лучей l₁, l₂, l₃ и l₄.

Каждый из лучей l₁ и l₃ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c меньше или равно 1$ и не пересекается при $c больше 1.$

Каждый из лучей l₂ и l₄ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c \geqslant минус 1$ и не пересекается при $c меньше минус 1.$

Следовательно, при $a меньше минус 1$ и $a больше 1$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

При $c= минус 1$ и $c=1$ прямая $a=c$ проходит через общую точку лучей l₂ и l₄, l₁ и l₃ соответственно. Значит, при $a= минус 1$ и $a=1$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c=0$ прямая $a=c$ проходит через точки пересечения лучей l₃ и l₄, l₁ и l₂. Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при $минус 1 меньше a меньше 0$ и $0 меньше a меньше 1$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a меньше минус 1,$ $a=0$ и $a больше 1.$

Ответ: $a меньше минус 1;$ $a=0;$ $a больше 1.$

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус 1$ и/или $a=1$	3
С помощью верного рассуждения получены промежутки $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630199	$a меньше минус 1;$ $a=0;$ $a больше 1.$

Ключ