РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 628914 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 391

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества, Формулы понижения степени

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $синус в квадрате 2x= косинус 2x плюс 4 синус в степени 4 x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$синус в квадрате 2x= косинус 2x плюс 4 синус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус косинус 2x=0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус в квадрате 2x= косинус 2x плюс 4 синус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус косинус 2x=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус в квадрате 2x= косинус 2x плюс 4 синус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате 2x= косинус 2x плюс левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус косинус 2x=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис). Подходят: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

628914

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 391

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества, Формулы понижения степени

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	628914	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$