PDF-версии: 
В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на медианах AK, BL и CN взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP = PK, 
а 
M — точка пересечения медиан.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника PQR.
Решение. а) Согласно теореме о точке пересечении медиан треугольника
Пусть 
Тогда из условия следует, что 
Отсюда 
Что и следовало доказать.
б) Применяя еще несколько раз свойство точки пересечения медиан треугольника, получим, что 
Медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников, поэтому площади треугольников ABM, ACM, BCM равны 2 каждая. Тогда
Таким образом, площадь треугольника PQR равна 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |