РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Бесконечная последовательность натуральных чисел $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ задана следующим соотношением: $a_1=2,$ $a_n плюс 1=a_n плюс r_n,$ Где r_n  — последняя цифра числа 4ⁿ, для всех $n\geqslant1.$

а)  Найдите формулу для члена a_n этой последовательности.

б)  При каких значениях n член последовательности a_n является точным квадратом?

в)  При каких значениях n член последовательности a_n является степенью числа 2?

Решение. Заметим сразу, что поскольку последняя цифра следующей степени четверки определяется последней цифрой предыдущей степени, последовательность последних цифр числа $4 в степени n$ периодична. Это 4, 6, 4, 6, 4, 6, ... Значит, к $a_1=2$ добавляется либо поровну четверок и шестерок, либо на одну четверку больше. А именно, при нечетном n добавляется по $дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ тех и других цифр, при четном n добавляется $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби$ четверок и $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби минус 1$ шестерок.

а)  Значит, при нечетном n получаем

$a_n=2 плюс дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 4 плюс 6 правая круглая скобка =2 плюс 5 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =5n минус 3,$

а при четном n получаем

$a_n=2 плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на 6=2 плюс 2n плюс 3n минус 6=5n минус 4.$

Можно также записать общую формулу: $a_n=5n минус 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n правая круглая скобка .$

б)  Ясно, что члены последовательности с нечетными номерами заканчиваются на 2 (точные квадраты на 2 не заканчиваются), а с четными  — на 6. Такое возможно, если возводимое в квадрат число заканчивается на 4 или на 6. Для каждого такого числа x можно подобрать четное n, чтобы $5n минус 4=x в квадрате :$ это $n= дробь: числитель: x в квадрате плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

в)  Аналогично для каждой степени двойки, заканчивающейся на 6 или 2, можно подобрать соответствующее n. Если это $2 в степени левая круглая скобка 4y правая круглая скобка$ (заканчивается на 6), то $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y правая круглая скобка плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Если это $2 в степени левая круглая скобка 4y плюс 1 правая круглая скобка$ (заканчивается на 2), то $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y плюс 1 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: а)   $a_n=5n минус 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n правая круглая скобка ;$ б)   $n= дробь: числитель: x в квадрате плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби$ при всех x с последней цифрой 4 или 6; в)   $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y правая круглая скобка плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y плюс 1 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби$ при всех натуральных y.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	627187	а)   $a_n=5n минус 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n правая круглая скобка ;$ б)   $n= дробь: числитель: x в квадрате плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби$ при всех x с последней цифрой 4 или 6; в)   $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y правая круглая скобка плюс 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $n= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 4y плюс 1 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби$ при всех натуральных y.

Ключ