РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 627186 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно два решения.

Решение. Преобразуем систему:

$система выражений x плюс корень из: начало аргумента: y минус a минус 3 конец аргумента =0,y в квадрате минус x в квадрате = левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a плюс 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений y минус a минус 3=x в квадрате ,x меньше или равно 0,y в квадрате =x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений y=x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1,x меньше или равно 0,y в квадрате = левая круглая скобка x плюс a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно система выражений y=x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1,x меньше или равно 0, совокупность выражений y=x плюс a плюс 1,y= минус x минус a минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений y=x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1,x меньше или равно 0,y=x плюс a плюс 1, конец системы . система выражений y=x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1,x меньше или равно 0,y= минус x минус a минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате плюс 2=x,x меньше или равно 0,y=x плюс a плюс 1, конец системы . система выражений x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1= минус x минус a минус 1,x меньше или равно 0,y= минус x минус a минус 1. конец системы . конец совокупности .$

Первая система полученной совокупности не имеет решений, поскольку не имеет решений уравнение $x в квадрате плюс 2=x.$ Уравнение $y= минус x минус a минус 1$ позволяет для любого значения x получить ровно одно значение y, поэтому количество решений второй системы совпадает с количеством неположительных корней первого уравнения этой системы:

$x в квадрате плюс 2 плюс a плюс 1= минус x минус a минус 1 равносильно x в квадрате плюс x= минус 2a минус 4.$

Полученное уравнение имеет два неотрицательных корня при

$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше минус 2a минус 4 меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно a меньше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби .$

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $минус 2 меньше или равно a меньше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 2; минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

627186

$левая квадратная скобка минус 2; минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	627186	$левая квадратная скобка минус 2; минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$