РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 627181 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Применим формулу приведения, сведем уравнение к квадратному относительно косинуса:

$2 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно косинус x=1 минус 2 косинус в квадрате x равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно косинус x=1 минус 2 косинус в квадрате x равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 1=0 равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

627181

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$