PDF-версии: 
В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.
а) Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра AB и ребро DC.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если 
Решение. а) Из того, что все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, следует, что пирамида ABCD правильная. Пусть M — середина ребра AB. Прямая CM содержит точку O — центр треугольника ABC — и перпендикулярна AB. Таким образом, плоскость CDM содержит высоту пирамиды DO. Заметим, что прямые DO и AB перпендикулярны, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости CDM.
б) В плоскости CDM из точки M опустим перпендикуляр MK на прямую CD. Из п. а) также следует, что прямые MK и AB перпендикулярны. Таким образом, длина MK — искомое расстояние. Имеем:
тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |