РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 623353 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 371

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Расстояние от точки до плоскости, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Правильная треугольная призма

Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AC равна $10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а боковое ребро равно $3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ На ребре AC отмечена точка E так, что $AE= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Точки F, N  — середины сторон A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Плоскость α параллельна прямой AB и содержит точки E и N.

а)  Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости α.

б)  Найдите расстояние от точки F до плоскости α.

Решение. а)  Проведём прямую DE параллельно прямой AB, а прямую NM параллельно прямой A₁B₁, тогда DEMN  — сечение призмы плоскостью α. Заметим, что $DE=9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $NM=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Пусть F₁  — проекция точки F на ABC, K и K₁  — точки пересечения прямых CF₁ и DE, C₁F и MN соответственно, O  — точка пересечения прямых CF и KK₁. Имеем:

$CF_1=C_1F=15,\quad\quad$
$\quad K_1F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C_1F= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,\quad$
$\quad\quad CK= дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби CF_1= дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $CF_1=C_1F=15,\quad\quad$
$\quad K_1F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C_1F= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,\quad$
$\quad\quad$
$\quad CK= дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби CF_1= дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $CF_1=C_1F=15,\quad$
$\quad\quad$
$\quad K_1F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C_1F= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,\quad$
$\quad\quad$
$\quad CK= дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби CF_1= дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$CF= корень из: начало аргумента: CF_1 в квадрате плюс FF_1 в квадрате конец аргумента =3 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента ,\quad$
$\quad\quad$
$\quad KK_1= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка K_1F минус KF_1 правая круглая скобка в квадрате плюс FF_1 конец аргумента =3 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Треугольники CKO и FK₁O подобны с коэффициентом $k= дробь: числитель: K_1F, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби ,$ откуда

$FO= дробь: числитель: 5, знаменатель: 14 конец дроби CF= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби ,\quad\quad$
$\quad K_1O= дробь: числитель: 5, знаменатель: 14 конец дроби KK_1= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$ $FO= дробь: числитель: 5, знаменатель: 14 конец дроби CF= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби ,\quad$
$\quad\quad$
$\quad K_1O= дробь: числитель: 5, знаменатель: 14 конец дроби KK_1= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Заметим, что

$FO в квадрате плюс K_1O в квадрате = дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 35, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 14, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 7 в квадрате , знаменатель: 14 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 15 в квадрате , знаменатель: 2 в квадрате конец дроби =K_1F в квадрате .$ $FO в квадрате плюс K_1O в квадрате =$
$= дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 35, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 14, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 7 в квадрате , знаменатель: 14 в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 15 в квадрате , знаменатель: 2 в квадрате конец дроби =K_1F в квадрате .$ $FO в квадрате плюс K_1O в квадрате =$
$= дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 35, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 14, знаменатель: 14 в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 15 в квадрате умножить на 7 в квадрате , знаменатель: 14 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 15 в квадрате , знаменатель: 2 в квадрате конец дроби =K_1F в квадрате .$

Следовательно, треугольник FK₁O  — прямоугольный, и прямые FO и OK₁ перпендикулярны, то есть прямая CF перпендикулярна прямой KK₁. Кроме того, прямая CF перпендикулярна прямой A₁B₁, то есть она также перпендикулярна прямой NM, значит, прямая CF перпендикулярна плоскости α.

б)  Из п. а) следует, что расстояние от точки F до плоскости α равно $FO= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

623353

$дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 371

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	623353	$дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$