PDF-версии: 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8. На ребрах ВС и A1D1 взяты соответственно точки К и L, а на ребре CD — точки М и N так, что 
а) Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен 
б) Найдите расстояние между прямыми KN и ML.
Решение. а) Пусть точка M1 лежит на ребре BC так, что прямая MM1 параллельна прямой KN, тогда
Прямые MM1, KN и BC параллельны,
Запишем теорему косинусов для треугольника LMM1:
Углом между прямыми называется меньший из углов, образованных при их пересечении, следовательно, углом между прямыми KN и ML будет угол, смежный с углом LMM1, его косинус равен
б) Заметим, что так как прямые KN и BD параллельны, то прямая KN перпендикулярна прямой AC и прямой CC1, следовательно, прямая KN перпендикулярна плоскости AA1C1C.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Пусть O — точка пересечения прямых KN и AC, тогда O — проекция KN на AA1C1C. Через точку L проведём прямую LL1 параллельно прямым KN и MM1, при этом точка L1 лежит на ребре A1B1. Заметим, что прямые LL1 и MM1 перпендикулярны плоскости AA1C1C. Пусть L' и M' — точки пересечения LL1 с A1C1 и MM1 с AC соответственно. Тогда L'M' — проекция LM на AA1C1C. Найдём расстояние от точки O до прямой L'M'. Из точки M опустим перпендикуляр OH на отрезок L'M' и найдём его длину. Пусть G — проекция точки L' на AC, тогда: 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |