РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 622676 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 369

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?

б)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 4 : 3?

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?

Решение. а)  Да, например треугольник со сторонами 10, 11, 20 будет тупоугольным, поскольку $20 в квадрате больше 10 в квадрате плюс 11 в квадрате .$

б)  Пусть большая сторона имеет длину 4x, а меньшая 3x. Тогда длина средней не меньше 3x и сумма квадратов двух сторон не меньше $левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате =18x в квадрате больше левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате ,$ поэтому треугольник остроугольный.

в)  Допустим это числа a, 20, c, причем a < 20 и $c в квадрате больше 20 в квадрате плюс a в квадрате .$ Если увеличить стороны a и c на 1, то получим

$левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате плюс 2c плюс 1 больше 20 в квадрате плюс a в квадрате плюс 2a плюс 1=20 в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате ,$

то есть треугольник останется тупоугольным $c плюс 1 меньше левая круглая скобка 20 плюс a правая круглая скобка плюс 1=20 плюс a плюс 1,$ то есть неравенство треугольника по-прежнему будет выполняться, а треугольник будет существовать, причем

$дробь: числитель: c плюс 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби =1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a плюс 1 конец дроби меньше 1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби ,$

то есть указанное отношение уменьшится. Значит, выгодно увеличивать a пока это возможно, поэтому можно считать, что a  =  19. При фиксированном a нужно просто выбирать минимально возможное c. Поскольку $20 в квадрате плюс 19 в квадрате =761 принадлежит левая круглая скобка 729,784 правая круглая скобка ,$ минимально возможное c это 28.

Ответ: а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 28, знаменатель: 19 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 28, знаменатель: 19 конец дроби .$

622676

а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 28, знаменатель: 19 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 369

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	622676	а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 28, знаменатель: 19 конец дроби .$