РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 622672 Добавить в вариант

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 369;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C).

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 9x конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 27x конец аргумента меньше или равно 3 .$

Решение. Перейдём к основанию 3 и воспользуемся свойствами логарифмов:

$логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 9x конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 27x конец аргумента меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 3 корень 3 степени из: начало аргумента: 9x конец аргумента конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: 27x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 3 корень 3 степени из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 9x конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 27x конец аргумента меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 3 корень 3 степени из: начало аргумента: 9x конец аргумента конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: 27x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 3 корень 3 степени из: начало аргумента: 3x в квадрате конец аргумента конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3.$

Пусть $t= логарифм по основанию 3 x,$ тогда

$дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 3 левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: 3t минус 1, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 3, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате минус 4t плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 3 левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3t минус 1, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 3, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате минус 4t плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 2 меньше логарифм по основанию 3 x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию 3 x меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше x меньше 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 3 в степени 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 369;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C).

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ