РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 621468 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 365

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Группировка, Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: синус x плюс синус 2x конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Дробь равна нулю в случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$система выражений 4 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0, синус x плюс синус 2x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени x минус 2 в степени x умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0, синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно$ $система выражений 4 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0, синус x плюс синус 2x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени x минус 2 в степени x умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0, синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 2 умножить на 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка =0, синус x не равно 0, косинус x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =0,x не равно Пи k,x не равно \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений 2 в степени x =1,2 в степени x = дробь: числитель: корень из 2 }2, конец системы . x не равно Пи k,x не равно \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x=0,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . x не равно Пи k,x не равно \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: конец дроби Leftrightarrow x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Заметим, что $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 0 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому найденный корень лежит на заданном отрезке.

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

621468

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$