PDF-версии: 
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите 
Решение. а) Заметим, что вписанный угол ADC опирается на диаметр, поэтому
Отсюда MB = MD, а значит, и BM = CM. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что
Вычислим отношение BK к KP:
Ответ: 
Приведем другое решение пункта а) Реян Темиркаяевой.
Заметим, что отрезок OD перпендикулярен прямой DM, как радиус проведенный в точку касания, следовательно, 
отсюда OCMD — вписанный.
Пусть 
тогда 
Увидим, что 
так как опирается на хорду DM. Треугольник COD — равнобедренный и 
как радиусы, следовательно,
Угол CDA — вписанный, опирается на диаметр, значит, 
Тогда
отсюда 
Эти углы являются накрестлежащими, следовательно, отрезок OM параллелен отрезку AB. Точка O является серединой AC. Значит, OM — средняя линия треугольника ABC, следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |