PDF-версии: 
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если
Решение. а) Прямая AD перпендикулярна плоскости A1B1C1, поэтому проекцией прямой DE на эту плоскость является прямая A1E. Заметим, что в треугольнике A1EB1 медиана A1C1 равна половине стороны B1E, поэтому треугольник A1EB1 прямоугольный с прямым углом A1. Отсюда, по теореме о трех перпендикулярах, получаем, что ребро A1B1 перпендикулярно прямой DE.
б) В прямоугольном треугольнике A1EB1 найдем катет 
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. Прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |