РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 563671 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Группировка, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

a)  Решите уравнение $4 синус x косинус в квадрате x минус 2 корень из 3 синус 2x плюс 3 синус x = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$4 синус x косинус в квадрате x минус 2 корень из 3 синус 2x плюс 3 синус x = 0 равносильно$

$равносильно 4 синус x косинус в квадрате x минус 4 корень из 3 синус x косинус x плюс 3 синус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 4 корень из 3 косинус x плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$ $равносильно 4 синус x косинус в квадрате x минус 4 корень из 3 синус x косинус x плюс 3 синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 4 корень из 3 косинус x плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус x=0,4 косинус в квадрате x минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс 3 = 0. конец совокупности .$

Из первого уравнения получаем $x= Пи k,k принадлежит Z .$ Для второго уравнения сделаем замену $t= косинус x,$ получим уравнение $4t в квадрате минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t плюс 3 = 0.$ Его дискриминант равен нулю: $D= 48 минус 48 = 0,$ тогда $t= дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \pm0, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Сделав обратную замену, получаем

$косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

563671

а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2021.

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Группировка, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563671	а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$