РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 563561 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Разные задачи;

Задания 15 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Показательные неравенства

Решите неравенство: $левая круглая скобка 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 23 левая круглая скобка 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 112 больше или равно 0.$

Решение. Сделаем замену $y=16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ,$ получим:

$y в квадрате плюс 23y плюс 112 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка y плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений y меньше или равно минус 16,y больше или равно минус 7. конец совокупности .$ $y в квадрате плюс 23y плюс 112 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка y плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений y меньше или равно минус 16,y больше или равно минус 7. конец совокупности .$ $y в квадрате плюс 23y плюс 112 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка y плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений y меньше или равно минус 16,y больше или равно минус 7. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, имеем:

$совокупность выражений 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус 16,16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно минус 7 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 16 в степени x минус 8 умножить на 4 в степени x плюс 16\leqslant0,16 в степени x минус 8 умножить на 4 в степени x плюс 7\geqslant0. конец совокупности .$ $совокупность выражений 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус 16,16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно минус 7 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 16 в степени x минус 8 умножить на 4 в степени x плюс 16\leqslant0,16 в степени x минус 8 умножить на 4 в степени x плюс 7\geqslant0. конец совокупности .$

Снова сделаем замену $z = 4 в степени x ,$ получим

$совокупность выражений z в квадрате минус 8z плюс 16\leqslant0,z в квадрате минус 8z плюс 7\geqslant0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений левая круглая скобка z минус 4 правая круглая скобка в квадрате =0,z\leqslant1,z\geqslant7 конец совокупности . равносильно совокупность выражений z=4,z\leqslant1 ,z больше или равно 7. конец совокупности .$ $совокупность выражений z в квадрате минус 8z плюс 16\leqslant0,z в квадрате минус 8z плюс 7\geqslant0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений левая круглая скобка z минус 4 правая круглая скобка в квадрате =0,z\leqslant1,z\geqslant7 конец совокупности . равносильно совокупность выражений z=4,z\leqslant1 ,z больше или равно 7. конец совокупности .$

Вновь вернемся к исходной переменной, имеем:

$совокупность выражений 4 в степени x =4,4 в степени x \leqslant1, 4 в степени x \geqslant7 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x\leqslant0, x больше или равно логарифм по основанию 4 7 конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

563561

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Разные задачи;

Задания 15 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563561	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$