PDF-версии: 
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 419?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число — трехзначное, а последнее равно 5?
Решение. а) Да, например, для числа 398 получим 398 + 20 + 2 = 420.
б) Нет. Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, поэтому сумма трех таких чисел всегда кратна трем, число 419 трем не кратно.
в) Поскольку число трехзначное, его сумма цифр не превосходит 27, значит, она должна быть равна 14 или 23. Переформулируем: подходят все трехзначные числа с остатком 5 при делении на 9, кроме тех, у которых сумма цифр 5.
Эти числа равны 11 · 9 + 5 = 104, 12 · 9 + 5 = 113, ..., 110 · 9 + 5 = 995. То есть всего имеется 110 − 11 + 1 = 100 трехзначных чисел с нужным остатком от деления на 9. Осталось выкинуть числа с суммой цифр 5.
Из цифр 5, 0, 0 можно составить одно такое трёхзначное число.
Из цифр 4, 1, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 2, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 1, 1 можно составить три таких числа.
Из цифр 2, 2, 1 можно составить три таких числа.
Других наборов с суммой 5 нет. Итого: 100 − 1 − 4 − 4 − 3 − 3 = 85 чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) 85.
Приведём решение пункта б) Елизаветы Зелененькой (Москва).
б) Представим первое число в следующем виде: x1 = 100a + 10b + c. Тогда второе число x2 = a + b + c = 10d + h, отсюда h = a + b + c − 10d. Третье число х3 = d + h. Запишем сумму всех трех чисел:
х1 + х2 + х3 = 100a + 10b + c + 10d + h + d + h.
Заменим h на a + b + c − 10d:
х1 + х2 + х3 = 100a + 10b + c + 10d + h + d + h =
=100a + 10b + c + 10d + a + b + c − 10d + d + a + b + c − 10d = 102a + 12b + 3c − 9d.
Заметим, что 102, 12, 3 и −9 делятся на три, значит, вся сумма делится на 3.
Приведём решение пункта в) Ярослава Бесчастного.
в) Если последнее число равно 5, то сумма цифр второго числа равна 5. Так как первое число трехзначное, его максимальная сумма цифр равна 27, значит, второе число либо 14, либо 23. Переберем все возможные варианты.
1 случай. Если х2 = 14, то a + b + c = 14.
Если а = 9, то b + c = 5 (все пары (b; c): (5; 0), (4; 1), (3; 2), (2; 3), (1; 4), (0; 5)) — 6 вариантов. Дальше количество вариантов будет увеличиваться на 1:
Если а = 8, то b + c = 6 — 7 вариантов: (6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3), (2; 4), (1; 5), (0; 6).
Если а = 7, то b + c = 7 — 8 вариантов: (7; 0), (6; 1), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (2; 5), (1; 6), (0; 7).
Если а = 6, то b + c = 8 — 9 вариантов.
Если а = 5, то b + c = 9 — 10 вариантов. Дальше количество вариантов будет уменьшаться, т. к. b, с ⩽ 9.
Если а = 4, то b + c = 10 — 9 вариантов.
Если а = 3, то b + c = 11 — 8 вариантов.
Если а = 2, то b + c = 12 — 7 вариантов.
Если а = 1, то b + c = 13 — 6 вариантов.
Всего будет 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 70 вариантов.
2 случай. Если х2 = 23, то a + b + c = 23.
Если а = 9, то b + c = 14 (все пары (b; c): (9; 5), (8; 6), (7; 7), (6; 8), (5; 9)) — 5 вариантов.
Если а = 8, то b + c = 15 — 4 варианта.
Если а = 7, то b + c = 16 — 3 варианта.
Если а = 6, то b + c = 17 — 2 варианта.
Если а = 5, то b + c = 18 — 1 вариант.
Если а = 4, то b + c = 19 — нет вариантов.
Всего будет 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 вариантов.
Итого: 70 + 15 = 85 вариантов.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ а пунктах а, б и в. | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ только в пункте а или только в пункте б и при этом обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а и в пункте б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |