РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 563395 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка конец дроби =4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: косинус левая круглая скобка x минус \tfrac Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Упростим показатель степени в правой части уравнения, для этого применим формулу косинуса разности:

$дробь: числитель: косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x конец дроби = дробь: числитель: косинус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: корень из 2 синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: косинус x плюс синус x, знаменатель: синус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \ctg x плюс 1 правая круглая скобка .$ $дробь: числитель: косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: корень из 2 синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: косинус x плюс синус x, знаменатель: синус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \ctg x плюс 1 правая круглая скобка .$ $дробь: числитель: косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: корень из 2 синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: косинус x плюс синус x, знаменатель: синус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \ctg x плюс 1 правая круглая скобка .$

Преобразуем исходное уравнение к квадратному относительно показательной функции:

$1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка конец дроби =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \ctg x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 12 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$

$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно \ctg x= минус 1 равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $равносильно 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно \ctg x= минус 1 равносильно$
$равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

563395

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$