РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Последовательность $a_1, a_2, ..., a_n левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.

б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  6?

Решение. а)  Например, последовательность 2, 7, 11, 14, 6.

б)  Да, например, последовательность 6, 7, 7, 6, 3.

в)  Пусть первый и шестой члены последовательности равны 1, в противном случае сумма членов последовательности возрастет. Рассмотрим последовательность

1, a, b, c, d, 1.

Если $a = 1,$ то удвоенный второй член последовательности не больше суммы первого и третьего.

Если $a = 2,$ то должно быть выполнено неравенство $4 больше 1 плюс b,$ откуда $b = 1,$ что невозможно, или $b = 2.$ Последний случай тоже невозможен, поскольку тогда последовательность принимает вид 1, 2, 2, c, d, 1, а тогда и $c = 1,$ и подобрать d невозможно.

Пусть $a = 3,$ тогда $6 больше левая круглая скобка 1 плюс b правая круглая скобка ,$ откуда $b меньше 5.$ Случаи $b = 1,$ $b = 2,$ $b = 3$ невозможны, что доказывается аналогично. Если $b = 4,$ то $c = 4,$ $d = 3.$ Сумма членов последовательности 1, 3, 4, 4, 3, 1 наименьшая, она равна 16.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  16.

Примечание 1.

В пункте в) можно было бы упростить перебор, заметив, что для заданной в условии последовательности разности последующего и предыдущего членов уменьшаются с ростом n.

Примечание 2.

Для последовательностей с большим количеством членов приведенный в пункте в) перебор затруднителен. Способ рассуждения для $n = 10$ приведён нами в задании 514525, взятой из основной волны ЕГЭ 2016 года.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562813	а)  да; б)  да; в)  16.

Ключ